ガチャ確率計算・シミュレーション

このサイトはガチャの確率についての、理論値の計算とシミュレーションを行います

シミュレーション方法はモンテカルロ法です。
これはコンピュータにガチャを引かせるシミュレーションを行って、
その統計的結果を確率として計算する方法です。
数学の確率論から求められる理論値からは誤差が出たり、計算量が多くなる場合がありますが、
理論値の計算が困難な場合でも有意な統計的結果を求められるため、とても便利な方法です。
Wikipedia::モンテカルロ法

モンテカルロ法のサンプル数について

精度を十分に保つため、サンプル数は10万に設定してあります。
シミュレーションの条件によって、条件を満たしたサンプルは途中から除外されます。
例えば、「ハズレを引き続けたサンプルだけを確率計算に含める」場合、
「途中で当たりを引いたサンプル」は以後のシミューレーションから省かれます

計算精度・計算負荷について

各計算機において、「理論値の計算」はそれほど負荷や時間がかかりません
しかし、モンテカルロ法は、
ガチャを引く回数・サンプル数が多いほど、
計算精度は高くなります が、計算に時間がかかります。
また、出現率を極端に低くした場合には、サンプル数10万では不十分となり、
計算精度が落ちる傾向があります。
古いスマートフォンの場合、負荷がかかりますので、
モンテカルロ法を選択した場合はご注意ください。

目次

ガチャを何回引いたら99％出る？
当たりの数ごとの確率分布
ボックスガチャを何回引いたら当たりが出る？
ボックスガチャで1個以上当たりが出る確率は？
確率はいつ収束するのか？
当たりが出やすい状態、出にくい状態はいつまで続くのか？

ガチャを何回引いたら99％出る？

理論的には外れる確率がある限り、どれだけ引いても当たる確率は100％にはなりません。
しかし、試行回数を増やせば99％を超え、限りなく100％に近づくことはあります。
以下の計算機で試してみましょう。
当たりを引いたサンプルは、その時点で残りの試行回数から除外されます。

ガチャの試行回数までに当たりを引く確率について

試行回数をn回、出現率をpとしたとき、
「n回までに1回以上当たる確率」は「100%からn回まではずれを引く確率を差し引いたもの」となります。
確率は1-(1-p)^nです。

当たりの数ごとの確率分布

試行回数を増やしたとき、当たりを引いた数ごとの確率分布はどうなるのでしょうか
例えば、1000回ガチャを引き、2個当たりを引ける確率はどれくらいでしょうか。
以下の計算機で試してみましょう。
※モンテカルロ法です

一定試行回数で当たりをw個引いたときの確率

試行回数をn回、出現率をpとしたとき、
確率はnCw*p^w*(1-p)^(n-w)となります。
(nCwは、n個からw個取り出す時の組み合わせ)

ボックスガチャを何回引いたら当たりが出る？

箱からガチャをすればするほど当たる確率は増えるはずです。
何回引けばどれくらい確率が高まるのでしょうか？
計算するのは、「今まで外れた場合の、次の試行回数の当選率」です
以下の計算機で試してみましょう。
※モンテカルロ法です

ボックスガチャの当選率

箱の中のアイテム総数をa、当たり個数をwとし、それまですべてはずれを引いたとします。
ガチャをn回目に引くときの当選率は、w/(a-n-1)となります。
全体の確率として(1-w/a)*(1-w/(a-1))*…*(1-w/(a-n+2))*w/(a-n-1)となります。
残りのアイテム総数がwとなるまではずれを引いたとき、残りの試行についての確率は100%となります。

ボックスガチャで1個以上当たりが出る確率は？

箱からガチャをすればするほど当たる確率は増えるはずです。
何回引けばどれくらい確率が高まるのでしょうか？
計算するのは「試行回数で1個以上当たりが出る確率」です
以下の計算機で試してみましょう。
※モンテカルロ法です

ボックスガチャで1個以上当たりが出る確率

箱の中のアイテム総数をa、当たり個数をwとします。
ガチャをn回引くまでに1個以上当たりが出る確率は
1-[n回引くまですべてはずれの確率]
=1-(1-w/a)*(1-w/(a-1))*…*(1-w/(a-n+1))となります。

確率はいつ収束するのか？

確率が提示されていたとき、実際のガチャの統計的結果が確率と等しくなるためには、多くの試行回数が必要です。
一人の個人が決まった回数がガチャを引いた場合に、確率よりも多めに出たり、出なかったりします。
そのブレが「確率は収束する」と思わせたり、「確率通りには行かない」と感じさせたります。
以下の計算機でシミュレーションしてみましょう。
※モンテカルロ法によるシミュレーションです。結果は毎回異なります。

一定試行回数で当たりをw個引いたときの確率

確率は常に一定なのに、統計的結果は試行回数によってぶれます。
サンプル数が多くなるほど、結果は確率に近づいていきます。
これを大数の法則といいます。Wikipedia::大数の法則
シミュレーションからもわかるように、相当なサンプル結果が集まらないと、統計と確率は一致しません。
その一致しないブレ具合を「分散」として表します。Qiita::確率と統計、たまにガチャの話
このサイトで用いているモンテカルロ法は、大きなサンプル数を用いることで、大数の法則を利用していることになります
分散もモンテカルロ法で求められますが、計算負荷のため割愛しています。

当たりが出やすい状態、出にくい状態はいつまで続くのか？

確率が提示されていたとき、実際のガチャの統計的結果が確率と等しくなるためには、多くの試行回数が必要です。
少ない試行回数の場合、結果的に「当たりが出やすかった」期間が長かったり、「当たりが出にくかった」期間が長かったりなりえます。
(もちろん「確率と統計結果がほぼ同じ状況」もありえます) 一定試行回数でどの状況になる期間が長いのか
以下の計算機でシミュレーションしてみましょう。

※モンテカルロ法によるシミュレーションです。結果は毎回異なります。

統計結果=当たりを引いた試行回数÷それまでの累計試行回数とし、
1回の試行回数につき、確率と統計結果の大小を比較しています
「確率と統計結果がほぼ同じ状況」は両者の差が0.1%以内とします(確率10%に対して、統計結果が10.1%など)。

統計的結果が確率より大きい・小さい・等しい期間

試行回数が小さい場合、「統計的結果が確率と等しい期間」はあまりありません。
特に当たりの確率が50%のとき、統計的結果が確率より多い期間、少ない期間の両極端に分かれる傾向があります。
逆正弦法則と呼ばれています。直観を裏切る逆正弦法則—確率過程への誘い—|京都産業大学
当たり確率が50%ではない場合も、同様の結果が得られます。
これはガチャを引くときに統計的結果と確率が等しいとイメージする私たちの直感に反するものです。
すなわち、「当たりにくい時はずっと確率より当たりにくく」感じ、「当たりやすいときはずっと確率より当たりやすい」と感じるわけです
繰り返しますが、確率は一定であり、変動しているのは試行回数の少ない統計的結果のためです。
確率と統計的結果が等しくなってくる十分な試行回数とは1万回、10万回の単位です。
しかし、人間の感覚では多くても数1000程度の少ない範囲を視野とするために、統計的なブレを感じやすくなるのでしょう。
モンテカルロ法ではこのようなシミュレーションを簡単に行えるのがメリットです。
確率の理論値からどれくらいぶれた状態が続いているかヒストグラムにすることも可能ですが、計算負荷軽減のため割愛します。