ゲームガチャ確率・装備強化シミュレーション計算機

ゲームのガチャ確率計算から装備強化・精錬シミュレーションまで、全10種の計算ツールを搭載。
理論値とモンテカルロ法（10万回シミュレーション）でグラフ付きの結果を表示します。

ガチャを何回引いたら99％出る？

数学上、外れる可能性がある限り、当たる確率が100%になることはありません。
ただし、回数を増やすほど当たる確率は上がり、99%を超えて限りなく100%に近づきます。
出現率と試行回数を入力して、どのくらいで「ほぼ確実」になるか確認してみましょう。

計算の仕組み

試行回数をn回、1回あたりの出現率をpとします。
「n回引いて1回も当たらない確率」は (1-p)^n です。
したがって「n回までに1回以上当たる確率」は、1-(1-p)^n で求められます。

当たりの数ごとの確率分布

n回ガチャを引いたとき、当たりが0個・1個・2個…になる確率はそれぞれどのくらいか。
この「当たり個数ごとの確率の分布」をシミュレーションで求めます。
※モンテカルロ法によるシミュレーションです。

計算の仕組み（二項分布）

試行回数n回、1回あたりの出現率pのとき、ちょうどw個当たる確率は
nCw × p^w × (1-p)^(n-w) です。
nCw は「n回のうちどのw回で当たるか」の組み合わせの数を表します。
この分布を二項分布と呼びます。

確率はいつ収束するのか？

「出現率1%」と表記されていても、100回引いてちょうど1回当たるとは限りません。
少ない回数では結果にバラつきがあり、確率から大きくずれることは珍しくありません。
何回引けば実際の結果が確率に近づくのか、シミュレーションで確認できます。
※結果は毎回異なります。

大数の法則とは

確率そのものは常に一定ですが、実際に引いた結果（統計）は試行回数が少ないとバラつきます。
試行回数を増やすほど、統計的な結果は理論上の確率に近づいていきます。
これを大数の法則と呼びます。Wikipedia::大数の法則

このバラつきの度合いは「分散」という指標で表されます。
モンテカルロ法は、この大数の法則を利用して、大量のシミュレーションから確率を推定する手法です。

当たりが出やすい状態、出にくい状態はいつまで続くのか？

ガチャを引いていると、「当たりやすい時期」と「当たりにくい時期」があるように感じることがあります。
確率は常に一定ですが、少ない試行回数では統計結果が確率からずれやすく、
そのずれた状態が長く続くことがあります。
ここでは、各試行ごとに「確率より当たっている」「確率通り」「確率より当たっていない」を判定し、
それぞれの期間がどのくらい続くかをシミュレーションします。

※結果は毎回異なります。判定基準：確率との差が0.1%以内を「確率通り」としています。

逆正弦法則（アークサイン法則）

試行回数が少ないと、「確率通り」の期間はほとんど現れません。
特に当たりの確率が50%のとき、「確率より多く当たる期間」と「少ない期間」の
どちらかに偏る傾向が強くなります。これを逆正弦法則と呼びます。
直観を裏切る逆正弦法則—確率過程への誘い—|京都産業大学

この法則は確率が50%以外の場合にも当てはまります。
つまり「当たりにくい時期はずっと当たりにくく、当たりやすい時期はずっと当たりやすい」
と感じるのは、直感に反しますが統計的には自然な現象です。

確率は常に一定であり、変動しているのは試行回数が少ないことによる統計的なバラつきです。
確率と統計結果が一致してくるのは、1万回〜10万回以上の試行が必要です。
人間が体感するのはせいぜい数百〜数千回の範囲なので、バラつきを実感しやすくなります。

天井（ソフト天井）付きガチャ計算機

多くのゲームには「天井」と呼ばれる救済措置があり、一定回数引くと確定で当たります。
さらに天井の手前から確率が段階的に上がる「ソフト天井」を採用するゲームもあります。
また「すり抜け（50/50）」があるゲームでは、当たっても目当てのキャラでない場合があります。
ここでは天井・ソフト天井・すり抜けを考慮した累積確率をシミュレーションします。

天井・ソフト天井の仕組み

天井（ハード天井）は、指定回数引くと確定で★5が出る仕組みです。
ソフト天井は、天井の手前から1回引くごとに確率が段階的に上昇する仕組みです。
例えば原神では74連目から毎回+6%ずつ上昇し、90連目で確定になります。

すり抜け（50/50）がある場合、★5が出ても50%の確率で「すり抜け」（目当てでないキャラ）になります。
すり抜けた場合、次に★5が出たときは確定で目当てのキャラを入手できます。
最悪の場合、天井×2回分の回数が必要になります。

コンプガチャ（全種コンプ期待値）計算機

N種類のアイテムがすべて等確率で出るガチャで、全種類を集めるには何回引けばいいのか。
これは数学では「クーポンコレクター問題」として知られています。
最初のうちは新しいアイテムが出やすいですが、残り数種になると急激に必要回数が増えます。
理論値（調和級数による期待値計算）とモンテカルロ法で全種コンプの確率を計算します。

クーポンコレクター問題

N種類のアイテムをコンプリートするのに必要な回数の期待値は
E = N × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/N) = N × H(N) です。
H(N) は調和級数と呼ばれ、Nが大きくなるとln(N)に近づきます。
Wikipedia::クーポンコレクター問題

例えば10種類なら E ≈ 10 × 2.93 ≈ 29.3回、
50種類なら E ≈ 50 × 4.50 ≈ 225回が期待値です。
ただし「期待値」は平均であり、運が悪いとその数倍かかることもあります。

強化・精錬シミュレーター

RPGやMMOでおなじみの装備強化。成功すれば段階が上がり、失敗すれば下がる。
運が悪いと破壊されることも…。目標段階に到達するまでに何回の試行が必要なのか。
各段階で確率・下落・破壊率を個別に設定でき、実際のゲームシステムを再現できます。
マルコフ連鎖の理論値とモンテカルロ法で、累積成功確率をシミュレーションします。

強化シミュレーションとマルコフ連鎖

装備強化は「現在の段階」だけで次の結果が決まるため、
マルコフ連鎖（前の状態だけで次が決まる確率過程）としてモデル化できます。
Wikipedia::マルコフ連鎖

理論値は、各段階にいる確率を毎回更新することで正確に計算できます。
「成功率が低い」「下落が大きい」「破壊がある」条件ほど、
目標到達までの試行回数は急激に増えます。

連続当たり・連続ハズレ（ストリーク）確率計算機

「10連続ハズレなんてありえない！」と思うかもしれませんが、
試行回数が多ければ、長い連続ハズレ（または連続当たり）は意外と起こります。
N回中にL回連続で当たり/ハズレが起こる確率を、理論値とモンテカルロ法で計算します。

ストリーク確率の計算原理

N回の試行でL回連続が起こる確率は、再帰的な漸化式で厳密に計算できます。
B(n) =「n回の試行でL回以上の連続が一度も起こらない確率」とすると、
B(n) = (1-p) × [B(n-1) + p×B(n-2) + p²×B(n-3) + … + p^(L-1)×B(n-L)]
この式は「直前の試行がハズレで、その前にL連続が起きていない」すべてのパターンを数えています。

P(L回連続が起こる) = 1 - B(N) で最終的な確率が求まります。

直感に反して、試行回数が十分あれば、長い連続ハズレはかなりの確率で発生します。
「確率の偏り」ではなく、統計的に自然な現象です。

ボックスガチャを何回引いたら当たりが出る？

ボックスガチャでは、引くたびに箱の中身が減るため、残りの当選率が変化します。
ここでは「それまで全部外れだった場合、次に当たる確率」をシミュレーションします。
※モンテカルロ法によるシミュレーションです。

計算の仕組み

箱の中のアイテム総数をa、当たりの個数をwとします。
n回目に引くとき、箱には a-(n-1) 個残っているので、当選率は w/(a-n+1) です。
それまで全部外れだった確率は (1-w/a)×(1-w/(a-1))×…×(1-w/(a-n+2)) です。
箱の残りが当たりだけになれば、当選率は100%になります。

ボックスガチャで1個以上当たりが出る確率は？

ボックスガチャをn回引いたとき、1個以上当たりが含まれている確率を求めます。
引く回数が増えるほど当選確率は高くなります。
※モンテカルロ法によるシミュレーションです。

計算の仕組み

箱の中のアイテム総数をa、当たりの個数をwとします。
n回引いて1個以上当たる確率は「全部外れる確率」の余事象です。
1-(1-w/a)×(1-w/(a-1))×…×(1-w/(a-n+1)) で求められます。

計算手法について

このサイトでは、ガチャの確率や装備強化の成功率を2つの方法で計算します。
ひとつは数学の公式から求める理論値、もうひとつはコンピュータに何万回もシミュレーションさせるモンテカルロ法です。

モンテカルロ法とは、乱数を使って大量の試行を繰り返し、その統計から確率を求める手法です。
公式では解くのが難しい問題でも、試行回数を十分に増やせば信頼できる結果が得られます。
Wikipedia::モンテカルロ法

モンテカルロ法のサンプル数について

このサイトでは、10万人分のシミュレーションを同時に行っています。
計算の条件によっては、途中で「当たりを引いた人」をシミュレーションから除外し、
「まだ当たっていない人だけ」で計算を続ける場合があります。

計算精度・計算負荷について

理論値の計算は一瞬で終わります。
一方、モンテカルロ法は試行回数が多いほど精度は上がりますが、計算に時間がかかります。
また、出現率が極端に低い場合は、10万サンプルでは不十分になり精度が落ちることがあります。
古いスマートフォンでは動作が重くなる場合があるため、ご注意ください。